neck を使ったイディオム。

neck ―「重要なもの、力強さ、頑固さ」というイメージ。

a pain in the neck　「いやな人物、悩みの種、目の上のたんこぶ」
Don’t you hate listening to the new boss?　He’s a real pain in the neck.
「新しい上司の言うことを聞くのっていやじゃない？　彼ってほんとにいやな人だわ。」

　直訳すると「首の痛み」となる。pain の前に、real や serious などの形容詞を付けて度合いを表す。また、neck の代わりに体のほかの部位を使うことも多い。
【類】a pain in the ankle
　　　→ ankle は「足首」。同じ意味を表すイディオム。

up to one’s neck　「借金で首が回らない、窮地に陥っている」
David borrowed and borrowed, and now he’s up to his neck.
「デビッドはお金を借りまくって、今では借金で首が回らない状態だ。」

　in debt を付けて、up to one’s neck in debt のように言うことが多い。in debt は「借金で」という意味。up to one’s のあとに eyes、ears などを続けるイディオムは同じ意味を表す。